В тетраэдре ABCD найти геометрическое место точек, которые делит отрезок PQ в отношении 1 : 2, где P – произвольная точка ребра AB

Решение. Лемма. В треугольнике AQB точки, делящие в отношении 1:2 отрезки PQ, P лежит на AB образуют отрезок EF, параллельный основанию AB, причем точки E и F делят в отношении 1:2 отрезки AQ и BQ соответственно. Доказательство следует из подобия треугольников QEO и QAP, где O делит PQ в отношении 1 : 2 (подобие по двум сторонам и углу между ними).
Пусть точки K, L, M, N делят в отношении 1 : 2 ребра AD, BD, BC и AC соответственно. Все эти точки принадлежат искомому ГМТ.
Покажем, что параллелограмм KLMN есть искомое ГМТ. Рассмотрим произвольную точку Q на ребре CD. По Лемме все искомые точки, соответствующие фиксированной Q образуют отрезок EF, точки E и F, делящие отрезки AQ и BQ в отношении 1 : 2, лежат на отрезках KN и LM соответственно.
Двигая точку Q мы получим всевозможные отрезки, параллельные AB с концами, лежащими на KN и LM. Они и образуют параллелограмм KLMN.